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Fondamenti di elettronica
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Propagazione su una linea.
Il problema che ci eravamo
posti è quello di comprendere come si accendono,ad esempio, 10000
lampadine ,distanti fra loro un chilometro,tutte in serie sulla stessa
linea,in parallelo.Le lampadine si intendono ad incandescenza puramente
resistite.
Facciamo
l’ipotesi che la pulsazione della sorgente sia 10 rad/sec in modo che il
baluginio sia visibile all’occhio umano(ricordiamo che l’occhio umano non
riesce a distinguere variazioni d’immagine con tempi inferiori ad 1/16
sec.),quello che ci possiamo aspettare sono 2 fenomeni:
1)che
l’intensità della luce emanata dalle lampadine decresca allontanandosi
dalla sorgente ed avvicinandosi alla fine della linea.
2)che
le lampadine abbiano il massimo della loro intensità in tempi diversi.
L’osservazione fenomenologia ci portaa
dedurre 2 aspetti teorici:
Il
primo legato a un problema di dissipazione dell’energia(se l’intensità
luminosa cala significa che ho a disposizione meno calore,ovvero meno energia).
Il
secondo è legato ad un problema di ritardo,ricordiamo quindi, che
il fenomeno dissipativo è legato ad un effetto resistivo e il conservativo
provoca il ritardo.
L’insieme
di questi due aspetti,ci permette di pensare a un modello circuitale della
linea matematico.Occorre fare ipotesi semplificativa,che la geometria e
le caratteristiche fisiche siano uniformi lungo tutta la linea stessa.
Pensiamo
adesso come rappresentare uno spezzone di linea. Sarà dotata di
una resistenza metallica,di un “effetto magnetico”,di un “effetto capacitivo”fra
filo di andata e filo di ritorno,di un “effetto resistivo” dell’isolante
dei fili.Questo ci fa pensare ad un modello di linea con lunghezza molto
breve,che contenga i 4 componenti suddetti. Non dovrebbe essere difficile
dedurre,che il modello è tanto più aderente alla realtà,quanto
più lo spezzone di linea considerato è piccolo(Il modello ideale
è con Dx
tendente a zero).
Qui di seguito abbiamo la rappresentazione del modello in questione:
La
linea si può quindi pensare come un numero grandissimo (teoricamente
infinito)di celle elementari uguali a quella disegnata.Ogni cella provocherà
sempre la stessa diminuzione percentuale sul segnale che gli arriva,per
cui il valore massimo del segnale sorgente diminuirà lungo la linea
come un esponen
ziale
decrescente.
A seguire il grafico che rappresenta il decadimento dell’ampiezza del
segnale:
Impedenza:
E' l'espressione matematica corrispondente a qualunque insieme di componenti
passivi, nello specifico stiamo utilizzando componenti passivi lineari.
Reattanza:
E' l'espressione matematica che ci da misura dell'opposizione al passaggio
della corrente da parte dei componenti conservativi.
Nel caso specifico ci occupiamo di componenti passivi lineari: C
ed
L.
Sulla linea viene attaccato il carico
desiderato,ma la linea sente solo l’impedenza Z0= ¥
infinito.
L’espressione altro non è che la
formulazione matematica dell’evoluzione spazio temporale di un segnale
sinusoidale che si propaga dalla sorgente verso un carico posto a distanza
infinita.Si può notare che è presente un decadimento esponenziale
dell’ampiezza intuitivamente collegabile ad una dissipazione termica dei
parametri dissipativi,resistivi della linea e quindi matematicamente si
può desumere una dipendenza in prima battuta da R
e G.
E’
invece chiaro che il ritardo jdi x,dovrà
dipendere dai parametri conservativi della linea.Tenendo conto che il sistema
è lineare si può pure pensare che il ritardo dipenda linearmente
dalla lunghezza della linea.
Quest’ultimo
fatto ci permette di stabilire un parametro fondamentale per le telecomunicazioni
che si chiama lunghezza d’onda:dovrebbe risultare ovviocce un segnale aumentando
costantemente il suo sfasamento,dopo una certa lunghezzal(lambda)
di linea,ritorna in fase,ovvero subisce una rotazione di 2prad
,tale lunghezza lambda è la lunghezza
d’onda di quel segnale,su quel mezzo particolare di trasmissione:a parità
di frequenza di segnale sorgente,ci saranno lunghezze d’onda diversein
dipendenza dalla linea usata(materiale).
Costante
di propagazione.
Il
problema che ci poniamo è il calcolo della costante di propagazione;g(gamma).
E’ naturale che essendo V di
formesponenziale decrescente, lo sia anche I,
in quanto lungo la linea teorizzata infinita,il rapporto fra Ved Iè Z0,che
non dipende da x: nel
dominio delle x,Ved Idebbono
avere la stessa forma.Noi siamo in grado adesso di calcolare le derivate (nella
fattispecie quella dell’esponenziale):
Se si hanno
diversi componenti in parallelo, il sistema più semplice per il
calcolo è sostituire la resistenza con il suo reciproco (conduttanza),
la
reattanza con il suo reciproco (suscettanza),
fatto
ciò si sommano (conduttanza)
e
(suscettanza); ottenuto un solo risultato
se ne fa il reciproco ed avremo l'impedenza.
Partitore di tensione.
Partitore di corrente.
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Come trovare la costante
di propagazione sulla linea
(gamma) |
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E' l'impedenza in parallelo
nell'infinitesimo di linea
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Ora calcoliamo la derivata
della correntedI(x)
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Se
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ne consegue |
Quale è la percentuale di
dI(x) rispetto a I(x)
Al posto didI(x)sostituisco:
Se JWC >> G = JWL >> R
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Verifica una rotazione
angolare
(priva di attenuazione ?
====>valido solo per linee molto
piccole) |
Ricordando la relazione
di Eulero dei numeri complessi:
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